Cel dydaktycznyW tym podrozdziale nauczysz się: obliczać, w celu wyznaczenia przyspieszenia kątowego, moment siły dla układu ciał obracających się wokół ustalonej osi; wyjaśniać, jak zmiany momentu bezwładności układu wpływają na przyspieszenie kątowe przy stałej wartości momentu siły; analizować dynamikę ruchu obrotowego na podstawie wszystkich informacji omawianych do tej pory. Do tej pory analizowaliśmy energię kinetyczną ruchu postępowego i ruchu obrotowego, ale nie powiązaliśmy ich jeszcze z siłami i momentami sił działających na układ. W tym podrozdziale wprowadzimy równanie analogiczne do drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu postępowego i zastosujemy je do analizy dynamiki ciał sztywnych obracających się wokół stałej osi. Równanie Newtona dla ruchu obrotowego Dotychczas wiele z omówionych wielkości używanych do opisu ruchu obrotowego ma swoje odpowiedniki w wielkościach opisujących ruch postępowy. Ostatnią taką wielkością, którą omawialiśmy, był moment siły – obrotowy odpowiednik siły. Powstaje pytanie: czy dla ruchu obrotowego istnieje równanie analogiczne do drugiego prawa Newtona dla ruchu postępowego, ∑F→=ma→∑F→=ma→, które zawiera moment siły? Aby odpowiedzieć na to pytanie, przeanalizujmy na początek ruch cząstki punktowej o masie mm poruszającej się dookoła pewnej osi, po okręgu o promieniu rr. Niech na tę cząstkę działa stała co do wartości siła FF (patrz rysunek). Rysunek Leżący na idealnie gładkim stole (brak tarcia) przywiązany do sznurka krążek porusza się po okręgu o promieniu r r . Siłą dośrodkową jest siła naprężenia sznurka. Na krążek działa prostopadła do promienia siła F F , nadająca mu stałe przyspieszenie styczne. Zastosujmy drugą zasadę dynamiki dla ruchu postępowego, aby określić przyspieszenie liniowe naszej cząstki. Siła ta powoduje, że cząstka porusza się z przyspieszeniem stycznym o wartości a=F/ma=F/m. Wartość przyspieszenia stycznego jest proporcjonalna do wartości przyspieszenia kątowego, zgodnie z zależnością a=rεa=rε. Wstawiając to wyrażenie do równania dla drugiej zasady dynamiki dla ruchu postępowego otrzymujemy: F = m r ε . F = m r ε . Mnożąc obie strony przez rr otrzymujemy: r F = m r 2 ε . r F = m r 2 ε . Zauważmy, że lewa strona tego równania jest momentem siły liczonym względem osi obrotu, gdzie rr jest ramieniem siły, a FF jest wartością siły. Siła FF jest prostopadła do promienia rr. Przypomnijmy, że moment bezwładności cząstki punktowej jest równy I=mr2I=mr2. Moment siły prostopadłej do promienia okręgu w naszym przypadku (Rysunek można zapisać jako: M = I ε . M = I ε . Moment siły działającej na cząstkę jest równy momentowi bezwładności liczonemu względem osi obrotu pomnożonemu przez przyspieszenie kątowe. Możemy uogólnić to równanie na równanie dla ciała sztywnego obracającego się wokół ustalonej osi. Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego Jeśli więcej niż jeden moment siły działa na ciało sztywne obracające się wokół stałej osi, wówczas suma momentów siły jest równa momentowi bezwładności pomnożonemu przez przyspieszenie kątowe: ∑ i M i = I ε . ∑ i M i = I ε . Iloczyn IεIε jest wielkością skalarną i może być dodatni lub ujemny (przeciwny lub zgodny z ruchem wskazówek zegara), zależnie od znaku wypadkowego momentu siły. Należy pamiętać o konwencji, że przyspieszenie kątowe przeciwne do ruchu wskazówek zegara jest dodatnie. Zatem, jeśli ciało sztywne obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara pod wpływem dodatniego momentu siły (przeciwnego do ruchu wskazówek zegara), to jego przyspieszenie kątowe jest dodatnie. Powyższe równanie (Równanie jest drugim prawem Newtona dla dynamiki ruchu obrotowego i mówi nam, jaki jest związek momentu siły z momentem bezwładności i przyspieszeniem kątowym. Nazywamy je drugą zasadą dynamiki dla ruchu obrotowego (ang. Newton’s second law for rotation). Korzystając z tego równania możemy rozwiązać całą grupę zagadnień związanych z siłami i obrotami. Nic dziwnego, że formuła opisująca skutki działania momentu siły na ciało sztywne (a więc obrót) zawiera moment bezwładności, ponieważ jest to wielkość, która określa, jak łatwo lub trudno jest zmienić ruch obrotowy obiektu. Wyprowadzenie drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego w postaci wektorowej Podobnie jak poprzednio, kiedy wyznaczaliśmy przyspieszenie kątowe, możemy również wyznaczyć wektor momentu siły. Drugie prawo dynamiki ∑F→=ma→∑F→=ma→ określa związek między siłą wypadkową a wielkością kinematyczną ruchu postępowego obiektu. Równoważnik tego równania dla ruchu obrotowego można otrzymać stosując zależność pomiędzy przyspieszeniem kątowym, położeniem i wektorem przyspieszenia stycznego: a → = ε → × r → . a → = ε → × r → . Policzmy iloczyn wektorowy r→×a→r→×a→ wykorzystując własności iloczynu wektorowego (należy pamiętać, że r→⋅ε→=0r→⋅ε→=0): r → × a → = r → × ( ε → × r → ) = ε → ( r → ⋅ r → ) − r → ( r → ⋅ ε → ) = ε → r 2 . r → × a → = r → × ( ε → × r → ) = ε → ( r → ⋅ r → ) − r → ( r → ⋅ ε → ) = ε → r 2 . Policzmy teraz wypadkowy moment siły: ∑ ( r → × F → ) = r → × ( m a → ) = m r → × a → = m r 2 ε → . ∑ ( r → × F → ) = r → × ( m a → ) =m r → × a → =m r 2 ε → . Ponieważ mr2mr2 jest momentem bezwładności masy punktowej, otrzymujemy: ∑ M → = I ε → . ∑ M → =I ε → . Jest to równanie wyrażające drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego zapisane w postaci wektorowej. Wektor momentu siły ma ten sam kierunek, co wektor przyspieszenia kątowego. Zastosowanie równań dynamiki ruchu obrotowego Zanim zastosujemy równanie dynamiki ruchu obrotowego do opisu konkretnych codziennych sytuacji, ustalmy ogólną strategię rozwiązywania zadań w tej kategorii. Strategia rozwiązywania zadań: dynamika ruchu obrotowego Przeanalizuj sytuację i ustal, czy mamy do czynienia z działaniem momentów sił i na jakie ciała one działają. Wykonaj starannie szkic sytuacyjny. Określ, jakie wielkości będą analizowane i jakie wartości będą wyznaczane. Narysuj diagram sił, tj. wszystkie zewnętrzne siły działające na rozpatrywany w zadaniu układ. Określ punkt obrotu. Jeśli obiekt jest w stanie równowagi, musi być w równowadze dla wszystkich możliwych punktów obrotu – wybierz ten, który upraszcza obliczenia. Zastosuj równanie ∑ M → = I ε → ∑ M → =I ε → , tj. drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego. Należy użyć właściwego wzoru dla momentu bezwładności i wyliczyć momenty wszystkich sił względem wybranego punktu (osi) obrotu. Jak zwykle, sprawdź sensowność rozwiązania. Przykład Wyznaczenie wpływu rozkładu masy na ruch obrotowy karuzeliWyobraź sobie ojca kręcącego karuzelą na placu zabaw (Rysunek Działa on z siłą 250 N na brzeg karuzeli o masie 200,0 kg. Promień karuzeli wynosi 1,50 m. Oblicz przyspieszenie kątowe karuzeli spowodowane przyłożeniem tej siły: gdy nikogo nie ma na karuzeli;gdy dziecko o masie 8,0 kg siedzi w odległości 1,25 m od środka; załóż, że karuzela jest jednorodną tarczą, a tarcie można zaniedbać. Rysunek Aby uzyskać maksymalny moment siły, mężczyzna popycha karuzelę przykładając siłę do punktów leżących na jej obrzeżu, prostopadle do promienia karuzeli. Strategia rozwiązaniaWypadkowy moment pędu dany jest wyrażeniem ∑ M → = I ε → ∑ M → =I ε → . Aby wyznaczyć εε, musimy najpierw wyliczyć moment siły MM (który jest taki sam w obu przypadkach) i moment bezwładności II (większy w drugim przypadku). Rozwiązanie Moment bezwładności jednorodnej tarczy względem jej środka jest danych z zadania m=50kgm=50kg i R=1,50mR=1,50m otrzymujemy: I=0,500⋅50,0kg⋅(1,50m)2=56,25kg⋅ Wyznaczając wypadkowy moment sił zauważamy, że działająca siła jest prostopadła do promienia, a tarcie jest nieistotnie, zatem:M=rFsin⁡θ=1,50m⋅250,0N=375N⋅ Wstawiając tę wartość do wzoru na przyspieszenie kątowe otrzymujemy: ε=MI=375,0N⋅m56,25kg⋅m2=6, Spodziewamy się, że w tej sytuacji przyspieszenie kątowe karuzeli będzie mniejsze, ponieważ moment bezwładności jest większy, gdy na karuzeli jest dziecko. Aby wyznaczyć całkowity moment bezwładności II, najpierw wyznaczamy moment bezwładności dziecka IdId. Zastąpimy dziecko masą punktową w odległości 1,25 m od osi obrotu. Wówczas:Id=mR2=18,0kg⋅(1,25m)2=28,13kg⋅ moment bezwładności jest sumą momentów bezwładności karuzeli i dziecka (liczonych względem tej samej osi):I=28,13kg⋅m2+56,25kg⋅m2=84,38kg⋅ otrzymujemy: ε=MI=375,0N84,38kg⋅m2=4, ZnaczenieZgodnie z oczekiwaniami, przyspieszenie kątowe jest mniejsze, gdy dziecko znajduje się na karuzeli, niż wtedy, gdy karuzela jest pusta. Otrzymane przyspieszenia kątowe są dość duże częściowo z powodu faktu, że tarcie uznano za nieistotne. Gdyby na przykład ojciec naciskał prostopadle przez 2,00 s, nadałby pustej karuzeli prędkość kątową 13,3 rad/s, a tylko 8,89 rad/s, gdyby było na niej dziecko. Jeśli chodzi o liczby obrotów na sekundę, prędkość kątowa wynosi odpowiednio 2,12 obr/s i 1,41 obr/s. Sprawdź, czy rozumiesz Moment bezwładności łopatek wentylatora silnika odrzutowego jest równy 30,0kg⋅m230,0kg⋅m2. W ciągu 10 s od rozpoczęcia ruchu, obracając się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, osiągnęły one częstotliwość 20 obr/s. Jaki moment siły należy przyłożyć do łopatek w celu osiągnięcia w tym czasie tego przyspieszenia kątowego?Jaki jest wymagany moment siły, aby łopatki osiągnęły częstotliwość 20 obrotów na sekundę w ciągu 20 sekund?

Zacznijmy od przypomnienia trzeciej zasady dynamiki Newtona: jeżeli dwa ciała o masach m 1 m 1 i m 2 m 2 oddziałują ze sobą (tzn. wywierają na siebie siłę), to jest to zawsze oddziaływanie wzajemne, czyli siła, jaką ciało 2 działa na ciało 1, jest równa co do wartości i przeciwnie skierowana do siły, jaką ciało 1 działa na ciało 2.

Wideo: 13 Przykłady drugiej zasady Newtona w życiu codziennym Wideo: Druga zasada dynamiki #4 [ Dynamika ] Zawartość: Przykłady drugiej zasady Newtona w prawdziwym życiu1- kopnij piłkę2- Złap piłkę ręką3- Pchnij samochód4- Wepchnij dwa samochody5- Popchnij ten sam pełny lub pusty wózek6- Pchnij samochód 7- Prowadzić ciężarówkę lub samochód8- Dwie osoby idące razem9- Dwie osoby pchające stół10- Gra w golfa11- Otwórz drzwi12- Rower do pedałowania13- Użyj butelki keczupuPrawa NewtonaBibliografia wdrugie prawo Newtona, znanej jako podstawowa zasada dynamiki, naukowiec stwierdza, że ​​im większa masa obiektu, tym większa siła będzie potrzebna do jego przyspieszenia. Oznacza to, że przyspieszenie obiektu jest wprost proporcjonalne do działającej na niego siły netto i odwrotnie proporcjonalne do siły że obiekt może przyspieszyć tylko wtedy, gdy działają na niego siły. Drugie prawo Newtona mówi nam dokładnie, jak bardzo obiekt przyspieszy przy danej sile słowy, gdyby siła wypadkowa podwoiła się, przyspieszenie obiektu byłoby dwukrotnie większe. Podobnie, gdyby masa obiektu podwoiła się, jego przyspieszenie zmniejszyłoby się o drugiej zasady Newtona w prawdziwym życiuTo prawo Newtona ma zastosowanie do prawdziwego życia, będąc jednym z praw fizyki, które mają największy wpływ na nasze codzienne życie:1- kopnij piłkęKiedy kopiemy piłkę, wywieramy siłę w określonym kierunku, czyli w kierunku, w którym piłka będzie się przemieszczać. Ponadto, im mocniej piłka zostanie kopnięta, tym większą siłę na nią włożymy i tym dalej Złap piłkę rękąZawodowi sportowcy cofają rękę po złapaniu piłki, ponieważ daje to jej więcej czasu na zwolnienie, przy jednoczesnym zmniejszeniu siły z ich Pchnij samochódNa przykład pchanie wózka spożywczego z dwukrotnie większą siłą powoduje dwukrotne Wepchnij dwa samochodyZ drugiej strony, pchając dwa wózki supermarketów z tą samą siłą, wytwarza połowę przyspieszenia, ponieważ zmienia się Popchnij ten sam pełny lub pusty wózekŁatwiej jest pchać pusty wózek supermarketu niż pełny, ponieważ pełny wózek ma większą masę niż pusty, więc do pchania pełnego wózka potrzeba więcej Pchnij samochód Aby obliczyć siłę potrzebną do popchnięcia samochodu na najbliższą stację benzynową, zakładając, że poruszamy jednotonowym samochodem z prędkością około 0,05 metra na sekundę, możemy oszacować siłę wywieraną na samochód, która w tym przypadku będzie wynosić około 100 Prowadzić ciężarówkę lub samochódMasa ciężarówki jest znacznie większa niż samochodu, co oznacza, że ​​do przyspieszenia w takim samym stopniu potrzeba więcej siły. Przykładowo, gdy samochód przejeżdża 100 km autostradą przez 65 km, to bez wątpienia zużyje znacznie mniej benzyny niż gdyby musiał jechać z taką samą prędkością na tym samym dystansie Dwie osoby idące razemTo samo rozumowanie można zastosować do dowolnego poruszającego się obiektu. Na przykład dwie osoby, które chodzą razem, ale jedna osoba ma mniejszą wagę niż druga, chociaż idą z taką samą siłą, kto waży mniej, będzie jechał szybciej, ponieważ ich przyspieszenie jest niewątpliwie Dwie osoby pchające stółWyobraźmy sobie dwie osoby, jedną z większą siłą od drugiej, popychające stół w różnych kierunkach. Osoba z największą siłą pcha na wschód, a osoba z najmniejszą siłą pcha na północ. Jeśli dodamy obie siły, otrzymamy wypadkową równą ruchowi i przyspieszeniu stołu. Stół będzie więc przesuwał się w kierunku północno-wschodnim, chociaż z większym nachyleniem na wschód, biorąc pod uwagę siłę wywieraną przez silniejszą Gra w golfaW grze w golfa przyspieszenie piłki jest wprost proporcjonalne do siły przyłożonej do kija i odwrotnie proporcjonalne do jej masy. Na ścieżkę wpływa siła powietrza, które może spowodować niewielką zmianę jej Otwórz drzwiOtwierając drzwi, będziemy musieli działać z różnymi siłami w zależności od materiału, z jakiego są wykonane. Chociaż może mieć te same proporcje, trzeba będzie wywrzeć większą siłę na żelazne drzwi skrzydłowe w porównaniu do drzwi Rower do pedałowaniaZgodnie z prawem Newtona przyspieszenie roweru będzie zależało od wywieranej siły. Im większa siła, tym większe przyspieszenie. Z tego powodu rowerzyści są zwykle dość szczupli, a profesjonalne rowery bardzo Użyj butelki keczupuAby wyjąć keczup z garnka, musimy go wycisnąć tak, aby wyszedł przez szczelinę. W zależności od przyłożonej siły keczup może wychodzić powoli i opadać na burgera lub wypływać z dużą prędkością i rozlać się po całym NewtonaIzaak Newton (4 stycznia 1643 - 31 marca 1727), angielski fizyk i matematyk, znany ze swojego prawa grawitacji, był kluczową postacią rewolucji naukowej XVII wieku i rozwinął zasady współczesnej po raz pierwszy przedstawił swoje trzy prawa ruchu w Principia Mathematica Philosophiae Naturalis w 1686. Uważana za najbardziej wpływową książkę dotyczącą fizyki i prawdopodobnie całej nauki, zawiera informacje o prawie wszystkich podstawowych pojęciach praca oferuje dokładny ilościowy opis ciał w ruchu w trzech podstawowych prawach:1 - Nieruchome ciało pozostanie nieruchome, chyba że zostanie do niego przyłożona siła zewnętrzna;2- Siła jest równa masie pomnożonej przez przyspieszenie, a zmiana ruchu jest proporcjonalna do przyłożonej siły;3- W przypadku każdego działania istnieje równa i przeciwna trzy prawa pomogły wyjaśnić nie tylko eliptyczne orbity planet, ale prawie każdy inny ruch we wszechświecie: w jaki sposób planety są utrzymywane na orbicie przez przyciąganie grawitacji Słońca, jak Księżyc obraca się wokół Ziemi i księżyce Jowisz krąży wokół niego i jak komety krążą po eliptycznych orbitach wokół w jaki prawie wszystko się porusza, można rozwiązać za pomocą praw ruchu: ile siły potrzeba, aby przyspieszyć pociąg, czy kula armatnia uderzy w cel, jak poruszają się prądy powietrzne i oceaniczne lub czy leci samolot. , są zastosowaniami drugiego prawa to drugie prawo Newtona jest bardzo łatwe do zaobserwowania w praktyce, jeśli nie w matematyce, ponieważ wszyscy empirycznie potwierdziliśmy, że do poruszania ciężkiego fortepianu trzeba włożyć więcej siły (a zatem więcej energii) niż do przesuń mały stołek po podłodze. Lub, jak wspomniano powyżej, podczas łapania szybko poruszającej się piłki do krykieta wiemy, że spowoduje ona mniejsze obrażenia, jeśli ramię zostanie cofnięte podczas chwytania być zainteresowany 10 przykładami pierwszej zasady Newtona w prawdziwym A. "Jaka jest druga zasada dynamiki Newtona?" (11 maja 2014) w: The Guardian: Isaac Newton. Krótka historia równań. Źródło: 9 maja 2017 r. Z The Guardian. & Sternheim. "Fizyczny". Ed. Reverte. Peris & Senent „Matters of Physics” Ed. Reverte, 1980.„Newton’s Second Law” Pobrano: 9 maja 2017 r. Z The Physics Classroom pod adresem: Newton. Biography ”pod adresem: Pobrano 9 maja 2017 z Biography / jest drugie prawo Newtona?” at: Khan Academy Pobrane z Khan Academy pod adresem: Newtona” w SAEM Thales. Andaluzyjskie Towarzystwo Edukacji Matematycznej Thales. Pobrane: 9 maja 2017 z

. 238 740 706 300 327 681 710 318

zastosowanie drugiej zasady dynamiki